Zadanie z TS lab 8

Dany jest układ jak na rysunku 1. Układ posiada jedno wejście u i dwa wyjścia: y₁ i y₂

Zadanie 1

Wyznacz macierze stanu dla układu przedstawionego na rysunku 1.
\(\begin{matrix} \frac{d}{dt}x&=A\cdot x+B\cdot u\\ y&=C\cdot x+D\cdot u \end{matrix}\) Jako zmienne stanu wybieramy prąd płynący przez cewkę i napięcie na kondensatorze
\(x=\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}i_L\\ u_C\end{bmatrix}\) Ponieważ układu opisany jest dwoma zmiennymi stanu macierz A ma wymiar 2×2.
\(A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}\) W układzie jest tylko jedno wejście w związku z tym macierz B ma wymiar 2×1.
\(B=\begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{bmatrix}\) Ponieważ układu opisany jest dwoma zmiennymi stanu i ma dwa wyjście macierz C ma wymiar 2×2.
\(C=\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12}\\ c_{21} & c_{22}\end{bmatrix}\) W układzie jest tylko jedno wejście i dwa wyjścia w związku z tym macierz D ma wymiar 2×1.
\(D=\begin{bmatrix}d_{1} \\ d_{2}\end{bmatrix}\) Podstawiając macierz A,B,C,D do równań opisujących układ otrzymujemy:
\(\begin{matrix}\begin{bmatrix}\frac{d}{dt}x_{1}\\ \frac{d}{dt}x_{2}\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}\cdot u\\ \begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\end{bmatrix} &=\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12}\\ c_{21} & c_{22}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}d_{1}\\ d_{2}\end{bmatrix} \cdot u\end{matrix} \) \(\begin{matrix} \frac{d}{dx}x_{1} &= a_{11}\cdot x_{1} + a_{12} \cdot x_{2} + b_{1} \cdot u\\ \frac{d}{dx}x_{2} &= a_{21}\cdot x_{1} + a_{22} \cdot x_{2} + b_{2} \cdot u\\ y_{1} &= c_{11}\cdot x_{1} + c_{12} \cdot x_{2} + d_{1} \cdot u\\ y_{2} &= c_{21}\cdot x_{1} + c_{22} \cdot x_{2} + d_{2} \cdot u \end{matrix}\)

Wyznaczmy a₁₁
Z równania
\(\frac{d}{dx}x_{1} = a_{11}\cdot x_{1} + a_{12} \cdot x_{2} + b_{1} \cdot u\) przy założeniach x₂=0 i u=0 otrzymujemy
\(a_{11}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}x_{1}}{x_{1}}}\right|_{\begin{matrix} x_{2} =0 \\ u =0 \end{matrix}}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}i_{L}}{i_{L}}}\right|_{\begin{matrix}u_{C} =0 \\ u =0 \end{matrix}}\) z elektroniki wiadomo że pochodna prądu płynącego przez cewkę równa się napięcie na cewce podzielone przez indukcyjność
\(\frac{d}{dt}i_{L}=\frac{u_{L}}{L}\) a wiec
\(a_{11}=\frac{u_{L}}{L \cdot i_{L}}\) Korzystając z założeń układ można przerysować w sposób pokazany na rys. 2. Zerowe napięcie na elemencie oznacza jego zwarcie zastąpienie go fragmentem przewodu.

Mozna zauważyć iż napięcie na oporniku pierwszym jest równe napięciu na oproniku drugim co daje nam:
\(u_{R1}=u_{R2}\) \(i_{R1}\cdot R_{1}=i_{R2}\cdot R_{2} \Rightarrow i_{R2}=i_{R1}\frac{R_{1}}{R_{2}}\) Korzystając z pierwszego prawa kirhofa możemy zapisać
\(i_{L}=i_{R1}+i_{R2}\) podstawiająć i_R2 otrzymujemy
\(i_{L}=i_{R1}\cdot\left(1+\frac{R_{1}}{R_{2}}\right) \Rightarrow i_{R1}=\frac{i_{L}}{1+\frac{R_{1}}{R_{2}}}\) Teraz wystarczy zauważyć iż napięcie na cewce równe jest co do wartości napięciu na oporniku pierwszym.
\(u_{L}=-u_{R1}=-i_{R1}\cdot R_{1}= -\frac{i_{L}\cdot R_{1}}{1+\frac{R_{1}}{R_{2}}}\) aby łatwo obliczyć iż
\(a_{11}=\frac{u_{L}}{L \cdot i_{L}} = \frac{-\frac{i_{L}\cdot R_{1}}{1+\frac{R_{1}}{R_{2}}}}{L \cdot i_{L}} = -\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{L\cdot \left(R_{1}+R_{2}\right)}\)

Wyznaczmy a₂₁
Z równania
\(\frac{d}{dx}x_{2} = a_{21}\cdot x_{1} + a_{22} \cdot x_{2} + b_{2} \cdot u\) przy założeniach x₂=0 i u=0 otrzymujemy
\(a_{21}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}x_{2}}{x_{1}}}\right|_{\begin{matrix} x_{2} =0 \\ u =0 \end{matrix}}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}U_{C}}{i_{L}}}\right|_{\begin{matrix}u_{C} =0 \\ u =0 \end{matrix}}\) z elektroniki wiadomo że pochodna napięcia na kondensatorze równa się pradowi płynacego przez kondensator podzielony przez jego pojemność
\(\frac{d}{dt}u_{C}=\frac{i_{C}}{C}\) a wiec
\(a_{21}=\frac{i_{C}}{C \cdot i_{L}}\) Korzystając z założeń układ można przerysować w sposób pokazany na rys. 2.
Mozna zauważyć iż napięcie na oporniku pierwszym jest równe napięciu na oproniku drugim co daje nam:
\(u_{R1}=u_{R2}\) \(i_{R1}\cdot R_{1}=i_{R2}\cdot R_{2} \Rightarrow i_{R1}=i_{R2}\frac{R_{2}}{R_{1}}\) Korzystając z pierwszego prawa kirhofa możemy zapisać
\(i_{L}=i_{R1}+i_{R2}\) podstawiająć i_R1 otrzymujemy
\(i_{L}=i_{R2}\cdot\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}+1\right) \Rightarrow i_{R2}=\frac{i_{L}}{1+\frac{R_{2}}{R_{1}}}\) Teraz wystarczy zauważyć iż prąd płynący przez opornik drugi płynie także przez kondensator.
\(i_{C}=i_{R2}\) a wiec
\(i_{C}=\frac{i_{L}}{1+\frac{R_{2}}{R_{1}}}\) podstawiająć otrzymany wynik do równania na a₂₁ otrzymujemy
\(a_{21}=\frac{i_{C}}{C \cdot i_{L}}=\frac{\frac{i_{L}}{1+\frac{R_{2}}{R_{1}}}}{C \cdot i_{L}} = \frac{R_{1}}{C\cdot \left(R_{1}+R_{2}\right)}\)

Wyznaczmy a₁₂
Z równania
\(\frac{d}{dx}x_{1} = a_{11}\cdot x_{1} + a_{12} \cdot x_{2} + b_{1} \cdot u\) przy założeniach x₁=0 i u=0 otrzymujemy
\(a_{12}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}x_{1}}{x_{2}}}\right|_{\begin{matrix} x_{1} =0 \\ u =0 \end{matrix}}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}i_{L}}{u_{C}}}\right|_{\begin{matrix}i_{L} =0 \\ u =0 \end{matrix}}\) z elektroniki wiadomo że pochodna prądu płynącego przez cewkę równa się napięcie na cewce podzielone przez indukcyjność
\(\frac{d}{dt}i_{L}=\frac{u_{L}}{L}\) a wiec
\(a_{12}=\frac{u_{L}}{L \cdot u_{C}}\) Korzystając z założeń układ można przerysować w sposób pokazany na rys. 3. Zerowy prąd płynace przez elemencie oznacza jego rozwarcie.

Korzystająć z drugiego prawa kirchoffa dla oczka mamy:
\(u_{C} + u_{R1} + u_{R2} = 0\) Podstawiająć prawo ohma
\(u_{C} + i_{C}\cdot R_{1} + i_{C}\cdot R_{2} = 0 \Rightarrow i_{C} = -\frac{u_{C}}{R_{1}+R_{2}}\) Ponownie korzystająć z drugiego prawa kirchoffa dla oczka mamy:
\(u_{L}-u_{R1}=0 \Rightarrow u_{L} = u_{R1} = -i_{C}\cdot R_{1}\) podstawiajać wyznaczyny prad płynący w obwodzie z kondensatorem
\(u_{L} = -\frac{u_{C} \cdot R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\) i ostatecznie
\(a_{12}=\frac{u_{L}}{L \cdot u_{C}} = -\frac{R_{1}}{L \cdot \left(R_{1}+R_{2}\right)}\)

Wyznaczmy a₂₂
Z równania
\(\frac{d}{dx}x_{2} = a_{21}\cdot x_{1} + a_{22} \cdot x_{2} + b_{2} \cdot u\) przy założeniach x₁=0 i u=0 otrzymujemy
\(a_{22}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}x_{2}}{x_{2}}}\right|_{\begin{matrix} x_{1} =0 \\ u =0 \end{matrix}}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}u_{C}}{u_{C}}}\right|_{\begin{matrix}i_{L} =0 \\ u =0 \end{matrix}}\) z elektroniki wiadomo że pochodna napięcia na kondensatorze równa się natężeniu prądu płynącemu przez kondensator podzielonemu przez jego pojemność
\(\frac{d}{dt}u_{C}=\frac{i_{C}}{i}\) a wiec
\(a_{22}=\frac{i_{C}}{C \cdot u_{C}}\) Korzystając z założeń układ można przerysować w sposób pokazany na rys. 3. Z drugiego prawa kirchoffa dla oczka mamy:
\(u_{C} – u_{R1} – u_{R2} = 0\) Podstawiająć prawo ohma
\(u_{C} + i_{C}\cdot R_{1} + i_{C}\cdot R_{2} = 0 \Rightarrow u_{C} = – i_{C} \cdot \left(R_{1}+R_{2}\right)\) i ostatecznie
\(a_{22}=-\frac{i_{C}}{i_{C} \cdot C \cdot \left(R_{1}+R_{2}\right)} = -\frac{1}{C \cdot \left(R_{1}+R_{2}\right)}\)

Wyznaczmy b₁
Z równania
\(\frac{d}{dx}x_{1} = a_{11}\cdot x_{1} + a_{12} \cdot x_{2} + b_{1} \cdot u\) przy założeniach x₁=0 i x₂=0 otrzymujemy
\(b_{1}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}x_{1}}{u}}\right|_{\begin{matrix} x_{1} =0 \\ x_{2} =0 \end{matrix}}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}i_{L}}{u}}\right|_{\begin{matrix}i_{L} =0 \\ u_{C} =0 \end{matrix}}\) z elektroniki wiadomo że pochodna prądu płynącego przez cewkę równa się napięcie na cewce podzielone przez indukcyjność
\(\frac{d}{dt}i_{L}=\frac{u_{L}}{L}\) a wiec
\(b_{1}=\frac{u_{L}}{L \cdot u}\) Korzystając z założeń układ można przerysować w sposób pokazany na rys. 4. Zerowe napięcie na elemencie oznacza jego zwarcie zastąpienie go fragmentem przewodu, natomiast brak przepływu prądu oznacza zastapienie go rozwarciem.

Z rysunku 4 widać iż w obwodzie z opornikami nie płynie prad w związku z tym korzystając z drugiego prawa kirhofa dla obwodu możemy napisać:
\(u = u_{L}\) a wiec
\(b_{1}=\frac{u}{L \cdot u}=\frac{1}{L}\)

Wyznaczmy b₂
Z równania
\(\frac{d}{dx}x_{2} = a_{21}\cdot x_{1} + a_{22} \cdot x_{2} + b_{2} \cdot u\) przy założeniach x₁=0 i x₂=0 otrzymujemy
\(b_{2}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}x_{2}}{u}}\right|_{\begin{matrix} x_{1} =0 \\ x_{2} =0 \end{matrix}}=\left.{\frac{\frac{d}{dt}u_{C}}{u}}\right|_{\begin{matrix}i_{L} =0 \\ u_{C} =0 \end{matrix}}\) z elektroniki wiadomo że pochodna napięcia na kondensatorze równa jest napięciu prądu płynącego przez kondensator podzielonemu przez jego pojemność
\(\frac{d}{dt}u_{C}=\frac{i_{C}}{C}\) a wiec
\(b_{1}=\frac{i_{C}}{C \cdot u}\) Korzystając z założeń układ można przerysować w sposób pokazany na rys. 4. Z rysunku 4 widać iż w obwodzie z opornikami nie płynie prad w związku z tym:
\(b_{2}=\frac{i_{C}}{C \cdot u}=0\)

wynik
Ostatecznie uklad przedstawiony na rys. 1. mozna opisać następującymi macierzami
\(A=\begin{bmatrix}-\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{L\cdot\left(R_{1}+R_{2}\right)} & -\frac{R_{1} }{L\cdot\left(R_{1}+R_{2}\right)}\\ \frac{R_{1}}{C\cdot\left(R_{1}+R_{2}\right)} & -\frac{1}{C\cdot\left(R_{1}+R_{2}\right)}\end{bmatrix}\) \(B=\begin{bmatrix}\frac{1}{L}\\ 0 \end{bmatrix}\) \(C=\begin{bmatrix}\frac{R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R{2}} & \frac{R_{1}}{R_{1}+R{2}}\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) \(D=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}\)

Zadanie 2

Za pomocą funkcji zmienne wyznaczyc odpowiedz skokową układu i zaobserwować przebieg czasowy zmiennych stanu.

R1=1;
R2=2;
C=1;
L=2;
A=[-R1*R2/(L*(R1+R2)) -R1/(L*(R1+R2)); R1/(C*(R1+R2)) -1/(C*(R1+R2))]
B=[1/L;0];
C=[R1*R2/(R1+R2) R1/(R1+R2);0 -1];
D=[0;0];
zmienne(A,B,C,D,1);