Dany jest wykres funkcji okresowej będącej modyfikacją kosinusoidy.
Zapisz wzór funkcji \(f \) i wyznacz wartość średnią \(\overline{f} \). Wykreśl wykres wartości średniej \(\overline{f} \) od parametru \(\tau \).
Wzór funkcji:
\(f(t)=\left\{\begin{matrix} A\cdot cos(\frac{\pi }{\tau }\cdot t) & dla & t &\in &<-\frac{\tau }{2}+k \cdot T;\frac{\tau}{2}+k \cdot T> & \wedge \; k\in \mathbb{Z} \\ 0& dla & t &\in &(\frac{\tau}{2}+k \cdot T;T-\frac{\tau}{2}+k \cdot T )& \wedge \; k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. \)
Wzór na wartość średnia sygnału okresowego
\(\overline{f}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt \)
\(\overline{f}=\frac{1}{T}(\int_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}A \cdot cos(\frac{\pi }{\tau }\cdot t)dt+\int_{\frac{\tau}{2}}^{T-\frac{\tau}{2}}0\, dt)=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}A \cdot cos(\frac{\pi }{\tau }\cdot t)dt=\frac{A}{T}\cdot \frac{\tau }{\pi }\cdot sin(\frac{\pi }{\tau }\cdot t)|_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}=\frac{A}{T}\cdot \frac{\tau }{\pi }\cdot (sin(\frac{\pi }{\tau }\cdot \frac{\tau}{2} )-sin(\frac{\pi }{\tau }\cdot -\frac{\tau}{2}))=\frac{A}{T}\cdot \frac{\tau }{\pi }\cdot (sin(\frac{\pi }{2} )+sin(\frac{\pi }{2}))=\frac{2A\tau}{T\pi}\)
Wykres wartości średniej w funkcji parametru \(\tau \)
