Funkcja prostokątna
Dana jest funkcja prostokątna o równaniu
\(f(t)=\begin{cases}0 \text{ dla } t\in <-&\frac{1}{4}T+nT;\frac{1}{4}T+nT)\\ 1 \text{ dla } t\in <&\frac{1}{4}T+nT;\frac{3}{4}T+nT)\end{cases}\wedge n\in\mathbb{C}[/latex]
i przebiegu jak na rysunku 1.
Rys 1. Wykres funkcji [latex]f(t)\)
Zadanie 1
Oblicz współczynniki zespolonego szeregu fouriera dla podanej funkcji.
\(F(k)=\int_{0}^{T}f(t)e^{-\imath \frac{2\pi }{T}kt}dt\)
\(F(k)=\int_{\frac{1}{4}T}^{\frac{3}{4}T}e^{-\imath \frac{2\pi }{T}kt}dt=\cdots =\frac{1}{2}(-1)^{k}\frac{sin(k\frac{\pi }{2})}{k\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}(-1)^{k}Sa(k\frac{\pi }{2})\)
\(F(0)=\int_{\frac{1}{4}T}^{\frac{3}{4}T}dt=\cdots =0.5\)
Zadanie 2
W matlabie stwórz 500 elementowy wektor F z pierwszymi 500 wspołczynnikami Fk zespolonego szeregu fouriera.
k=[1:500];
F=[0.5 0.5*(-1).^k*sin(k.*Pi/2)./(k.*Pi/2)];
Zadanie 3
W matlabie stwórz wektor y reprezentujący próbki jednego okresu funkcji \(f(t)\)
y=[zeros(1,200) ones(1,400) zeros(1,200)];
Zadanie 4
Wywołać funkcje szereg z parametrami y i F, obserwować kolejne przybliżenia funkcji \(f(t)\)
za pomocą zespolonego szeregu fouriera
Rys 2. Wykres i aproksymacji funkcji \(f(t)\) zespolonym szeregiem fouriera
Zaobserwować efekt gibbsa w miejscach nieciągłości funkcji.
Funkcja trójkątna
Dana jest funkcja trójkątna o równaniu
\(h(t)=\begin{cases}0 &\text{ dla } t\in <0+nT;\frac{1}{4}T+nT)\\ 4t-1 &\text{ dla } t\in <\frac{1}{4}T+nT;\frac{1}{2}T+nT)\\-4t+3 &\text{ dla } t\in <\frac{1}{2}T+nT;\frac{3}{4}T+nT)\\0 &\text{ dla } t\in <\frac{3}{4}T+nT;T+nT)\\ \end{cases}\wedge n\in\mathbb{C}[/latex]
i przebiegu jak na rysunku 3.
Rys 3. Wykres funkcji [latex]h(t)\)
Zadanie 5
Oblicz współczynniki zespolonego szeregu fouriera dla podanej funkcji.
\(H(k)=\int_{0}^{T}h(t)e^{-\imath \frac{2\pi }{T}kt}dt\)
\(H(t)=\int_{\frac{1}{4}T}^{\frac{1}{2}T}(4t-1)e^{-\imath\frac{2\pi }{T}kt}dt+\int_{\frac{1}{2}T}^{\frac{3}{4}T}(-4t+3)e^{-\imath\frac{2\pi }{T}kt}dt=\cdots =e^{-\imath \frac{3}{2}\pi k}\frac{-1+2e^{\imath \frac{1}{2}\pi k}-e^{\imath \pi k}}{k^{2}\pi ^{2}}\)
\(H(t)=\int_{\frac{1}{4}T}^{\frac{1}{2}T}(4t-1)dt+\int_{\frac{1}{2}T}^{\frac{3}{4}T}(-4t+3)dt=\cdots =\frac{1}{4}\)
Zadanie 6
W matlabie stwórz 500 elementowy wektor H z pierwszymi 500 wspołczynnikami Hk zespolonego szeregu fouriera.
k=[1:500];
H=[0.25 exp(-1.5*i*pi.*k).*(1+2*exp(0.5*i*pi.*k)-exp(i*pi.*k))./(k.^2.*Pi.^2)];
Zadanie 7
W matlabie stwórz wektor y reprezentujący próbki jednego okresu funkcji \(f(t)\)
y=[zeros(1,200) linspace(0,1,200) linspace(1,0,200) zeros(1,200)];
Zadanie 8
Wywołać funkcje szereg z parametrami y i H, obserwować kolejne przybliżenia funkcji \(h(t)\)
za pomocą zespolonego szeregu fouriera
Rys 4. Wykres i aproksymacji funkcji \(h(t)\) zespolonym szeregiem fouriera
Zaobserwować efekt gibbsa w miejscach nieciągłości funkcji.