Dany jest układ RLC drugiego rzędu jak na rysunku 1.
Zadanie 1
Wyznacz transmitancje układu z rysunku 1.
\(H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{\frac{1}{sC}}{R+sL+\frac{1}{sC}}=\frac{1}{LCs^{2}+RCs+1}\)
Zadanie 2
Napisz funkcje o nazwie Bieguny która wyznaczy bieguny transmitancji.
Bieguny transmitancji to miejsca zerowe mianownika. W mianowników mamy funkcję kwadratową a wiec miejsca zerowe można wyznaczyć za pomocą delty.
\(\Delta = b^{2}-4ac=(RC)^{2}-4LC\)
\(s_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-RC-\sqrt{(RC)^{2}-4LC)}}{2LC}\)
\(s_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-RC+\sqrt{(RC)^{2}-4LC)}}{2LC}\)
function [s1 s2] = Bieguny(R,L,C)
%Funkcja przyjmuje parametry układu RLC i wyznacza bieguny zgodnie z obliczonym wzorem
s1 = (-R*C-sqrt((R*C)^2-4*L*C))/(2*L*C);
s2 = (-R*C+sqrt((R*C)^2-4*L*C))/(2*L*C);
Zadanie 3
Przyjmująć R=4 L=2 C=1 wyznaczyć bieguny transmitancji układu z rysunku 1 i narysować je na płaszczyźnie zespolonej.
Obliczenia:
\(s_{1}=\frac{-RC-\sqrt{(RC)^{2}-4LC)}}{2LC}=\frac{-4\cdot 1-\sqrt{(4\cdot 1)^{2}-2\cdot 4)}}{2\cdot 1\cdot 2}=\frac{-4-\sqrt{8}}{4}=\frac{-4-2\sqrt{2}}{4}\)
\(s_{2}=\frac{-RC+\sqrt{(RC)^{2}-4LC)}}{2LC}=\frac{-4\cdot 1+\sqrt{(4\cdot 1)^{2}-2\cdot 4)}}{2\cdot 1\cdot 2}=\frac{-4+\sqrt{8}}{4}=\frac{-4+2\sqrt{2}}{4}\)
Wykres, część rzeczywistą wartości s1 odkładamy na osi OX a część urojoną na osi OY.
[s1 s2] = Bieguny(4,2,1); % używamy wcześniej zdefiniowanej funkcji
plot(real(s1),imag(s1),'o');
hold on
plot(real(s2),imag(s2),'o');
hold off
title('Położenie biegunów układu o transmitancji H(s) dla R=4 L=2 C=1');
xlabel('Re');
ylabel('Im');
Zadanie 4
Wyznaczyć odpowiedz impulsową układu z zadania 3
Aby wyznaczyć odpowiedz impulsową układu należy obliczyć odwrtoną transformate laplaca z transmitancji H(s). W tym celu posłużymy się metodą reziduów. Znając położenie biegunów odwrotna transformata laplaca dana jest wzorem:
\(h(t)=\sum_{i}^{ }\lim_{s\rightarrow s_{i}}\frac{\partial ^{k-1}}{\partial s^{k-1}}(s-s_{i})^{k}H(s)e^{st}\)
gdzie k to krotnośc biegura transmitancji
Transmitancje układu RLC drugie rzędu można przedstawić w postaci
\(H(s)=\frac{1}{a(s-s_{1})(s-s_{2})}\)
gdzie
\(a=LC\; s_{1}=\frac{-RC-\sqrt{(RC)^{2}-4LC)}}{2LC}\; s_{2}=\frac{-RC+\sqrt{(RC)^{2}-4LC)}}{2LC}\)
W rozpatrywanym przypadku R=4 L=2 C=1 mamy
\(a=2\; s_{1}=\frac{-4-2\sqrt{2}}{4}\; s_{2}=\frac{-4+2\sqrt{2}}{4}\).
a wiec oba bieguny są jedno-krotne. Wykorzystująć metodę reziduów mamy
\(h(t)=\lim_{s\rightarrow s_{1}}(s-s_{1})\frac{1}{a(s-s_{1})(s-s_{2})}e^{st}+\lim_{s\rightarrow s_{2}}(s-s_{2})\frac{1}{a(s-s_{1})(s-s_{2})}e^{st}=\lim_{s\rightarrow s_{1}}\frac{1}{a(s-s_{2})}e^{st}+\lim_{s\rightarrow s_{2}}\frac{1}{a(s-s_{1})}e^{st}=\frac{1}{a(s_{1}-s_{2})}e^{s_{1}t}+\frac{1}{a(s_{2}-s_{1})}e^{s_{2}t}\)
Podstawiająć wartości biegunów
\(h(t) = \frac{1}{2(\frac{-4-2\sqrt{2}}{4}-\frac{-4+2\sqrt{2}}{4})}e^{\frac{-4-2\sqrt{2}}{4}t}+\frac{1}{2(\frac{-4+2\sqrt{2}}{4}-\frac{-4-2\sqrt{2}}{4})}e^{\frac{-4+2\sqrt{2}}{4}t}=\frac{1}{-2\sqrt{2}}e^{\frac{-2-\sqrt{2}}{2}t}+\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{\frac{-2+\sqrt{2}}{2}t}=\frac{\sqrt{2}}{4}(e^{\frac{-2+\sqrt{2}}{2}t}-e^{\frac{-2-\sqrt{2}}{2}t})\)
Zadanie 5
Wykreślić wyznaczoną w zadanie 4 odpowiedz impulsowa układu w programie MatLab
[s1 s2] = Bieguny(4,2,1); % używamy wcześniej zdefiniowanej funkcji
a = 2*1;
t = 0:0.1:50;
h = exp(s1*t)/(a*(s1-s2))+exp(s2*t)/(a*(s2-s1))
plot(t,h);
title('Odpowiedź impulsowa układu RLC dla R=4 L=2 C=1');
xlabel('t');
ylabel('h(t)');
Zadanie 6
Zapoznać się z funkcją odpowiedz2
Transmitancję układu należy przedstawić w postaci wielomianu licznika i mianownika.
L=[1]; %Licznik
M=[2 4 1]; %Mianownik
odpowiedz2(M,L);
Powyższa funkcja automatycznie wyznacza położenie biegunów transmitancji i odpowiedz impulsową układu oraz rysuje odpowiednie wykresy.
Zadanie 7
Zmienijąć R w zakresie od 5 do -5 zaobserwować wpływ położenia biegunów na charakter odpowiedzi impulsowej
