Dany jest wykres funkcji okresowej jak na rysunku.
Zapisz wzór funkcji \(f \) i wyznacz wartość średnią \(\overline{f} \). Wykreśl wykres wartości średniej \(\overline{f} \) od parametru \(\tau \).
Wzór funkcji:
\(f(t)=\left\{\begin{matrix} A\cdot e^{-t} & dla & t &\in &<0+k \cdot T;\frac{\tau}{2}+k \cdot T> & \wedge \; k\in \mathbb{Z} \\ -A\cdot e^{-(t-\frac{\tau}{2})}& dla & t &\in &(\frac{\tau}{2}+k \cdot T;T+k \cdot T )& \wedge \; k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. \)
Wzór na wartość średnia sygnału okresowego
\(\overline{f}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt \)
\(\overline{f}=\frac{1}{T}(\int_{0}^{\frac{\tau }{2}}A \cdot e^{-t}dt+\int_{\frac{\tau}{2}}^{T}-A\cdot e^{-(t-\frac{\tau}{2})}\, dt)=\frac{1}{T}(A\cdot(-e^{-\frac{\tau}{2}}+1)+\int_{\frac{\tau}{2}}^{T}-A\cdot e^{\frac{\tau}{2}}\cdot e^{-t}\, dt)=\frac{1}{T}(A\cdot(-e^{-\frac{\tau}{2}}+1)+Ae^{\frac{\tau}{2}}\cdot(e^{-T}-e^{-\frac{\tau}{2}}))=\frac{A}{T}(e^{\frac{\tau}{2}-T}-e^{-\frac{\tau}{2}})\)
Wykres wartości średniej w funkcji parametru \(\tau \)
