Oblicz splot następujących sygnałów \(f(t)=\wedge (\frac{t}{T}) \) i \(g(t)=\sqcap (\frac{t}{2T}) \).
Wzór na slot sygnałów
\(h(t)=f(t)\ast g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau)\cdot g(t-\tau)d\tau \)
Wzory sygnałów pod całką
\(f(\tau)= \wedge (\frac{\tau}{T})\)
\(g(t-\tau)=\sqcap (\frac{t-\tau}{2T}) \)
Wykresy obu funkcji
Po wymnożeniu obu funkcji otrzymujemy
W związku z tym mamy
co daje wynik splotu równy
\(h(t)=0\)
aż do następującej sytuacji
gdy \(t+T<-T \Rightarrow t<-2T[/latex] czyli
[latex]h(t)=\left\{\begin{matrix} 0 & dla & t\in(-\infty;-2T) \end{matrix}\right.[/latex]
Następnie mamy
Z rysunku widać iż funkcja pod całką jest nie zerowa tylko w przedziale [latex]\tau \in (-T;t+T) \). W związku z tym mamy
\(h(t)=\int_{-T}^{t+T}f(\tau) \cdot g(t-\tau) d \tau=\int_{-T}^{t+T}B \cdot (\frac{A}{T}\tau+A) d \tau=2 A B t+ \frac{A B}{2 T}t^{2}+2 A B T \)
Patrząc dalej dochodzimy do sytuacji gdy \(t+T=0\) gdy zmieniają się funkcja do całkowania, a wiec powyższy wynik prawdziwy jest tylko w przedziale
\(h(t)=\left\{\begin{matrix} 2 A B t+ \frac{A B}{2 T}t^{2}+2 A B T & dla & t\in(-2T;-T) \end{matrix}\right.\)
Analizując dalej mamy
Gdzie sygnał pod całką splotu składa się z dwóch części i nadaj jest niezerowy tylko w przedziale \(\tau \in (-T;t+T) \) a wiec splot jest równy
\(h(t)=\int_{-T}^{t+T}f(\tau) \cdot g(t-\tau) d \tau=\int_{-T}^{0}B \cdot (\frac{A}{T}\tau+A) d \tau+\int_{0}^{t+T}B \cdot (-\frac{A}{T}\tau+A) d \tau=-\frac{A B t^2}{2 T} + A B T\)
Przesuwając sygnał dalej mamy
gdzie sygnał pod całką jest niezerowy tylko w przedziale \(\tau \in (t-T;T) \) i składa się z dwóch części. W związku z tym mamy
\(h(t)=\int_{t-T}^{T}f(\tau) \cdot g(t-\tau) d \tau=\int_{t-T}^{0}B \cdot (\frac{A}{T}\tau+A) d \tau+\int_{0}^{T}B \cdot (-\frac{A}{T}\tau+A) d \tau=-\frac{A B t^2}{2 T} + A B T\)
Następne przesunięcie i mamy
gdzie sygnał pod całką jest niezerowy tylko w przedziale \(\tau \in (t-T;T) \). W związku z tym mamy
\(h(t)=\int_{t-T}^{T}f(\tau) \cdot g(t-\tau) d \tau=\int_{t-T}^{T}B \cdot (-\frac{A}{T}\tau+A) d \tau=-2 A B t + \frac{A B t^2}{2 T} + 2 A B T\)
Przesuwając sygnał dalej otrzymujemy
gdy splot ma wartość zero
\(h(t)=0\)
Ostatecznie splot jest równy
\(h(t)=\left\{\begin{matrix} 0 & dla & t \in (-\infty;-2T )\\ 2 A B t + \frac{A B t^2}{2 T} + 2 A B T & dla & t \in(-2T;-T )\\ -\frac{A B t^2}{2 T} + A B T & dla & t \in (-T;T) \\ -2 A B t + \frac{A B t^2}{2 T} + 2 A B T & dla & t \in(T;2T )\\ 0 & dla & t \in (2T;\infty )\\ \end{matrix}\right.\)
Jeszcze raz cały proces przesuwania oraz wynik każdej z całek.
