Oblicz splot następujących sygnałów \(f(t)\) i \(g(t) \)
Wzór na slot sygnałów
\(h(t)=f(t)\ast g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau)\cdot g(t-\tau)d\tau \)
Wzory sygnałów pod całką
\(f(\tau)=\left\{\begin{matrix}-Ae^{a\tau} & dla & \tau\in(-\infty;0 ) \\ Ae^{-a\tau} & dla & \tau\in(0;\infty)\end{matrix}\right. \)
\(g(t-\tau)=\left\{\begin{matrix}-Be^{-b(t-\tau)} & dla & \tau\in(-\infty;0 ) \\ Be^{b(t-\tau)} & dla & \tau\in(0;\infty)\end{matrix}\right. \)
Wykresy obu funkcji
Po wymnożeniu obu funkcji otrzymujemy
W związku z tym dla \(t<0 [/latex] mamy trzy zakresy całkowania
[latex]h(t)=\int_{-\infty }^{t}-Ae^{a\tau}\cdot -Be^{-b(t-\tau))}d\tau+\int_{t}^{0}-Ae^{a\tau}\cdot Be^{b(t-\tau))}d\tau+\int_{0}^{\infty}Ae^{-a\tau}\cdot Be^{b(t-\tau))}d\tau [/latex]
oraz dla [latex]t>0 \) również mamy trzy zakresy całkowania
\(h(t)=\int_{-\infty }^{0}-Ae^{a\tau}\cdot -Be^{-b(t-\tau))}d\tau+\int_{0}^{\tau}Ae^{-a\tau}\cdot -Be^{-b(t-\tau))}d\tau+\int_{t}^{\infty}Ae^{-a\tau}\cdot Be^{b(t-\tau))}d\tau\)
Wynik pierwszego przypadku
\(h(t)=\frac{A\cdot B}{a+b}e^{at}+\frac{A\cdot B}{a-b}(e^{at}-e^{bt})+\frac{A\cdot B}{a+b}e^{bt}=\frac{A\cdot B}{a+b}(e^{at}+e^{bt})+\frac{A\cdot B}{a-b}(e^{at}-e^{bt})\)
oraz wynik dla drugiego przypadku
\(h(t)=\frac{A\cdot B}{a+b}e^{-bt}+\frac{A\cdot B}{a-b}(e^{-at}-e^{-bt})+\frac{A\cdot B}{a+b}e^{-at}=\frac{A\cdot B}{a+b}(e^{-at}+e^{-bt})+\frac{A\cdot B}{a-b}(e^{-at}-e^{-bt})\)
czyli ostatecznie
\(h(t)=\left\{\begin{matrix} \frac{A\cdot B}{a+b}(e^{at}+e^{bt})+\frac{A\cdot B}{a-b}(e^{at}-e^{bt})& dla & t\in (-\infty;0\\ \frac{A\cdot B}{a+b}(e^{-at}+e^{-bt})+\frac{A\cdot B}{a-b}(e^{-at}-e^{-bt})& dla & t\in (0;\infty ) \end{matrix}\right.\)
