Oblicz energię sygnału \(f(t)=\frac{1}{1+t^{2}} \) za pomocą twierdzenia Parsevala.
Zakładamy sygnał \(g(t)=e^{-\left | t \right |} \) i liczymy jego transformatę
$$ G[jw]=\int_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^{0}e^{t} \cdot e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-t} \cdot e^{-j\omega t}dt=\frac{1}{1+j\omega}+\frac{1}{1-j\omega}=\frac{2}{1+\omega^{2}}$$
Stosujemy twierdzenie o zmianie skali
$$ g(t)=e^{-\left | t \right |}\overset{F}{\rightarrow}G[jw]=\frac{2}{1+\omega^{2}}$$
$$ g(at)=e^{-\left | at \right |}\overset{F}{\rightarrow}\frac{1}{\left | a \right |}G[\frac{jw}{a}]=\frac{1}{\left | a \right |} \cdot \frac{2}{1+(\omega/a)^{2}}=\frac{2 a}{a^{2}+\omega^{2}}$$
Następnie twierdzenie o symentri
$$ g(t)=e^{-\left | at \right |}\overset{F}{\rightarrow}G[jw]=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}$$
$$ G(t)=\frac{2a}{a^{2}+t^{2}}\overset{F}{\rightarrow}g[jw]=2\pi e^{-\left | -a\omega \right |} =2\pi e^{-\left | a\omega \right |}$$
Zakładamy że \(a=1\) a więc
$$ g(t)=\frac{2}{1+t^{2}}\overset{F}{\rightarrow}G[jw]=2\pi e^{-\left | \omega \right |}$$
$$ g(t)=\frac{2}{1+t^{2}}\overset{F}{\rightarrow}G[jw]=2\pi e^{-\left | \omega \right |} \; |\, /2$$
$$ g(t)=\frac{1}{1+t^{2}}\overset{F}{\rightarrow}G[jw]=\pi e^{-\left | \omega \right |}$$
Energia z twierdzenia Parsevala
$$ E=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\left | F(j\omega ) \right |^{2}d\omega$$
$$ E=\frac{1}{2\pi }(\int_{-\infty }^{0} \pi^{2} e^{2\omega } d\omega+\int_{0 }^{\infty} \pi^{2} e^{-2\omega } d\omega)=\frac{\pi}{2}$$